文系数学の定石とは｜整数・図形・数列で使う型の一覧

定石を持っていない人は、初めて見る問題で毎回ゼロから考えることになります。試験時間の中では、それでは間に合いません。

ここでは単元ごとに、実際に使う型を書き出します。

第01章定石とは何か

定石とは、問題の形と最初の一手を対応させた約束事です。考える手間を減らし、その分の時間を本当に考えるべき部分に回すための道具です。

たとえば図形の問題で90°が出てきたとします。ここで「垂直だから内積は0」と即座に書き出せるなら、そこから先に時間を使えます。毎回「垂直をどう式にするか」から考えていては、そこで数分が消えます。

定石は暗記の対象ですが、導けるようにしておくと強くなります。内積の定義に cos θ が入っていると知っていれば、cos 90° は 0 なので垂直なら内積も 0 になると、その場で式を導けるからです。

覚えた型なのか、作れる型なのか。初めて見る問題で差が出るのはここです。

第02章整数問題の定石は3つ

整数問題で手が止まらないための方針は、約数と倍数、不等式、合同式の3つに整理できます。どれを使うかを最初に決めます。

1. 約数と倍数で攻める

問題文に素数が出てきたときによく使います。文字はすべて整数として、次のようなことが成り立ちます。

• 素数 p を p = ab と表せるなら、a は ±1 か ±p のどれか。

• mn が p の倍数なら、m と n の少なくとも一方が p の倍数。

• 連続する n 個の整数の積は、n の階乗で割り切れる。

積の形に持ち込めれば、取りうる値が一気に絞れます。だから「因数分解できないか」を先に疑います。

2. 不等式で範囲を絞る

候補が無限にあるように見えても、範囲を絞れば有限個に落ちます。使う手は決まっています。

• 対称性があるなら、変数の大小を一方に決めてしまう。

• 自然数なら1以上。整数なら絶対値が0か1以上。

• 2次方程式の形なら、判別式が0以上という条件を持ち出す。

• 根号の中身が平方数になる条件を使う。

3. 合同式で余りを見る

3つの中で最も強力です。等式が成り立たないことを示すときにも使えます。

迷うのは法の選び方です。まず、問題に出てくる数のどれかを法として試します。うまくいかなければ、その倍数か前後の数を試します。ここは経験がものを言う部分で、試行錯誤が要ります。

第03章図形・ベクトルの定石

図形は「条件をどう式にするか」の対応表です。見た瞬間に書き出せる形にしておきます。

こうした対応関係を覚えているかどうかで、最初の1分の使い方が変わります。

第04章数列・確率の定石

数列は「差を見るか、比を見るか、ずらすか」の3択から入ります。

確率で漸化式が出てくるのは、n 回目と n+1 回目の関係を書けるときです。場合分けが増えてきたら、この形を疑います。

第05章定石の覚え方

定石は読んで覚えるものではなく、書いて覚えるものです。手が勝手に動くようになるまで繰り返します。

手順は3つです。

1. 問題を解く。詰まったら、どの型を出すべきだったかを確認する。

2. 「この形が来たらこれを出す」の1行にして、自分のノートに書き足す。

3. 同じ問題を後日、白紙から解き直す。型が出てくれば身についている。

参考書を読むだけでは型は手に入りません。理由は、「解説は分かるのに解けない」で説明しています。読んで分かることと、白紙から書けることは別の能力です。

自分のノートに1行ずつ足していくのが大事です。他人がまとめた一覧は、読んだ時点では理解できても、試験中には出てきません。自分が詰まった経験と結びついた型だけが残ります。

第06章よくある質問

定石は何個くらい覚えればいいですか。

数を目標にしないでください。過去問と模試で自分が詰まった型だけを足していくと、文系数学なら自然に50から80行くらいになります。最初から網羅しようとすると続きません。

定石を覚えると、考える力がつかないのでは。

逆です。型を出すところで時間を使わなくなるぶん、本当に考えるべき部分に時間を回せます。入試問題は、型を組み合わせた先に考えどころが置かれています。

青チャートのような網羅系をやれば身につきますか。

例題を解くだけでは足りません。解いたあとに「この形が来たらこれを出す」の1行に落として、自分のノートに書き足すところまでやってください。網羅系は型の供給源であって、型の定着装置ではありません。

公式は覚えているのに使えません。

公式を使えない場合は、導出を理解できているか確認してください。導出まで戻ると、その公式がどこから来たかが分かり、どの場面で使えるかが見えます。忘れても導き直せるようにもなります。

第07章まとめ

• 定石とは「この形が来たらこれを出す」という対応表。

• 整数は約数倍数・不等式・合同式の3つから入る。

• 図形は90°なら内積0、円なら方べきか中心角。数列は階差・ずらして引く。

• 読んで覚えるのではなく、自分のノートに1行ずつ足して書いて覚える。

東大おうち塾では、文系数学の専門指導で単元ごとの型を渡し、手が動くまでの反復まで一緒に回します。初回60分の体験授業は無料です。いまの答案を見せていただければ、どの型が足りないかをその場でお伝えします。

文系数学に時間を使う価値は、「文系数学で一番差がつく理由」で、開示得点をもとに説明しています。